16-10-2025 - Applied Mechanics - Vibrations [EN]-[IT]

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ENGLISH

16-10-2025 - Applied Mechanics - Vibrations [EN]-[IT]
With this post, I would like to provide a brief introduction to the topic in question.
(lesson/article code: EX_LZ_36)

Image created with artificial intelligence, the software used is Microsoft Copilot

Introduction
In applied mechanics, vibrations are mechanical oscillations of a system around an equilibrium position, caused by external forces, imbalances, or internal instabilities. Vibrations are repetitive motions and can be linear or rotational. Vibrations can be desired or undesired.
Vibrations are analyzed in terms of amplitude, phase frequency, and frequency.

Exercise
Let's try an exercise on vibrations.

In the figure, a homogeneous rod with mass m = 3 kg is hinged to the frame at one end and constrained by a spring (k = 10 kN/m) at the other end and a viscous damper at the centerline (c = 100 Ns/m).
Let's try to determine the natural pulsation, the damping factor, and the pulsation of the damped oscillations.

Initial Data
First, let's isolate the data needed to solve the problem.
Mass of the rod, m = 3 kg
Spring k = 10,000 N/m
Damper: c = 100 Ns/m
Geometry: rod hinged at the top, spring at the bottom, damper at the middle
Length of the rod: L (not provided, but simplified in the model)

Dynamic model
From the drawing, we can understand that the rod rotates around the pivot and is therefore a rotating system with a moment of inertia with respect to the pivot. So, consider the model as follows:

Then we know that the force of the spring Applied at the end, it generates a torque τk, and the damper applied at the middle generates a torque τc, which are calculated as follows:

Equation of motion
We obtain the equation by writing the basic form of the equation (formula A), substituting J (formula B), and then dividing the result by 1/3mL^2 (formula C). Here are the steps.

Natural Pulse
Below are the calculations for the natural pulse ωn

Damping Factor
Below are the calculations to find the value of the damping factor Damping ζ

Damped Pulse
Below are the calculations to find the value of the damped pulse ωd.

Results
Natural Pulse ωn = 100 rad/s
Damping factor ζ = 0.216
Damped pulsation ωd = 97.6 rad/s

Conclusions
Vibration studies are essential in design because they help prevent failures, reduce wear, improve safety, and optimize machine performance. Vibration control helps avoid dangerous resonances, minimize noise, and ensure component life.

Question
Did you know that Christiaan Huygens (1629–1695), a Dutch mathematician, astronomer, and physicist, was a central figure in the study of vibrations? Did you know that he demonstrated that the pendulum has a considerable period independent of its amplitude and applied isochronism to create stable clocks?

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ITALIAN

16-10-2025 - Meccanica Applicata - Vibrazioni [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(codice lezione/articolo: EX_LZ_36)

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot

Introduzione
In meccanica applicata alle macchine le vibrazioni sono oscillazioni meccaniche di un sistema attorno a una posizione di equilibrio, causate da forze esterne, squilibri o instabilità interne. Le vibrazioni sono movimenti ripetitivi e possono essere lineari o rotazionali. Le vibrazioni possono essere movimenti desiderati o indesiderati.
Le vibrazioni si analizzano in termine di ampiezza, frequenza di fase.

Esercizio
Proviamo ad eseguire un esercizio riguardo le vibrazioni.

In figura c’è un asta omogenea con massa m=3kg ed è incernierata al telaio ad un estremo e vincolata da una molla (k=10 kN/m) all’altro estremo e da uno smorzatore viscoso nella mezzeria (c=100 Ns/m).
Proviamo a determinare la pulsazione naturale, il fattore di smorzamento e la pulsazione delle oscillazioni smorzate.

Dati iniziali
Innanzitutto isoliamo i dati necessari per lo sviluppo del problema.
Massa dell’asta, m=3kg
Molla k=10.000 N/m
Smorzatore: c=100 Ns/m
Geometria: asta incernierata in alto, molla all’estremo inferiore, smorzatore a metà
Lunghezza dell’asta: L (non fornita, ma si semplifica nel modello)

Modello dinamico
Dal disegno possiamo comprendere che L’asta ruota attorno al perno e quindi è un sistema a rotazione con momento d’inerzia rispetto al perno, quindi consideriamo il modello come segue:

Poi sappiamo che la forza della molla applicata all’estremo genera una coppia τk e lo smorzatore applicato a metà genera una coppia τc che si calcolano come segue:

Equazione del moto
Otteniamo l’equazione scrivendo la forma basse dell’equazione (formula A), sostituendo J (formula B) e dividendo poi tutto per 1/3mL^2 (formula C). Qui di seguito i passaggi.

Pulsazione naturale
Qui di seguito i calcoli per la pulsazione naturale ωn

Fattore di smorzamento
Qui di seguito i calcoli per trovare il valore del fattore di smorzamento ζ

Pulsazione smorzata
Qui di seguito i calcoli per trovare il valore della pulsazione smorzata ωd

I risultati
Pulsazione naturale ωn = 100 rad/s
Fattore di smorzamento ζ = 0,216
Pulsazione smorzata ωd = 97,6 rad/s

Conclusioni
Gli studi sulle vibrazioni sono fondamentali in progettazione perché consentono di prevenire guasti, ridurre l'usura, migliorare la sicurezza e ottimizzare le prestazioni delle macchine. Il controllo delle vibrazioni aiuta ad evitare risonanze pericolose, a minimizzare il rumore e a garantire la durata dei componenti.

Domanda
Lo sapevate che Christiaan Huygens (1629–1695), matematico, astronomo e fisico olandese, è stata una figura centrale nello studio delle vibrazioni? Sapevate che egli dimostrò che il pendolo ha un periodo considerabile indipendente dall’ampiezza e applicò l’isocronismo per realizzare orologi stabili?

THE END