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ENGLISH

27-10-2025 - Operations Research - What is Operations Research [EN]-[IT]
With this post, I would like to provide a brief introduction to the topic in question.
(lesson/article code: MS_01)

Image created with artificial intelligence, the software used is Microsoft Copilot

Introduction
Operations research is a discipline that models and solves complex decision-making problems to optimally allocate limited resources.
We can define operations research as a branch of applied mathematics in which complex decision-making problems are analyzed and solved using algorithms (mathematical models).

What Operations Research Does in Practice

Operations research does three things in practice:
1-Modeling. That is, it translates a real-world problem into a model with decision variables, constraints, and an objective function. The objective function can be to minimize costs or maximize profits.
2-Optimization. To optimize, it uses algorithms to find the best solution within the constraints.
3-Analysis. It can study sensitivities, trade-offs, scenarios, and risks.

Main Topics in Operations Research

The main topics in Operations Research are:
-Linear Programming (LP)
-Simplex Method
-Dual Problem
-Linear Programming {0,1}
-Branch-and-Bound Algorithm
-Networks and Graphs

Linear Programming (LP)
Linear Programming (LP) is a class of optimization problems in which the objective function and constraints are linear in the decision variables. Linear means that there are no products of the variables, powers, or logarithms.
In linear programming, the feasible set is a polyhedron; the optima (if any) lie at the vertices. These problems can be solved graphically, analytically, or with algorithms.

Simplex Method

The Simplex Method is the most popular algorithm for solving Linear Programming (LP) problems. It works by exploring the vertices of the polyhedron of feasible solutions until it finds an optimal vertex.
Linear programming has the optimum at a vertex; what the simplex method does is move from one vertex to another, improving the objective until no further improvement is possible.
The simplex is an algorithm and is developed in 6 processes.
These processes are:
1-Forming and starting point, i.e., transforming it into standard form, possibly adding slack variables. If there are constraints with inequalities, slack variables will need to be added.
2-Table (tableau), i.e., creating the initial table of the simplex.
3-Choice of the input variable. The input criterion for maximization is to choose a non-basic variable with the most negative coefficient in the row 𝑧
z).
4-Choice of the output variable: the ratio test is performed. The lowest ratio indicates the row of the output variable.
5-Pivot: To obtain the new row of the output variable (or the input variable), we divide by the pivot element.
6-Stop or continue. When there are no improving entrants, it means we have reached the optimum.

Dual Problem
Duality in Operations Research associates each linear programming problem (primal) with another linear programming problem, called a dual.
The dual provides bounds on the optimal value, i.e., shadow prices of resources.
The dual problem is useful because it provides bounds and optimality certificates. It is also the basis of the dual simplex and many advanced techniques.

Linear Programming {0,1}
Linear Programming {0,1} is a linear optimization problem in which all decision variables are binary:
xj ∈{0,1}.
Linear Programming {0,1} is a perfect tool for yes/no decisions with linear objectives and constraints.

Branch and Bound Algorithm
The Branch and Bound algorithm is used to solve combinatorial optimization problems by intelligently exploring a search tree. It is based on the idea of ​​dividing the problem into subproblems (branches) and discarding parts of the tree using bounds that ensure there cannot be a better solution than the current one.
Essentially, Branch and Bound combines intelligent subdivision and strict bounds to explore only what is needed, providing optimal solutions.

Networks and Graphs
In Operations Research, networks and graphs are models for representing systems with elements (nodes) connected by relationships (edges), often with capacities, costs, or lengths. They are used to describe transportation, telecommunications, energy networks, projects (PERT/CPM), supply chains, social networks, etc.

A graph is connected if it consists of a single connected component.

Conclusions
Operations research is used to make quantitative decisions in production, logistics, finance, healthcare, energy, services, etc. This discipline helps make the best decisions under various constraints.
We can conclude by saying that the ultimate goal of operations research is to provide support in making the best decisions.

Question
Did you know that in 1939, a Soviet mathematician and economist, Leonid Kantorovich, introduced linear programming?
Did you know that in 1947, an American mathematician and statistician, George Dantzig, developed the simplex method and made linear programming a practical tool that was immediately used for military and industrial planning?
Did you know that in 1960, two women, a British mathematician and an Australian mathematician, Ailsa H. Land and Alison G. Doig, introduced one of the most interesting algorithms in operations research, the Branch & Bound method?

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ITALIAN

27-10-2025 - Ricerca operativa - Cosa è la ricerca operativa [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(codice lezione/articolo: MS_01)

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot

Introduzione
La ricerca operativa è una disciplina che modella e risolve problemi decisionali complessi per allocare risorse limitate in modo ottimale.
Possiamo definire la ricerca operativa come una branca della matematica applicata in cui i problemi decisionali complessi vengono analizzati e risolti mediante algoritmi (modelli matematici)

Cosa fa in pratica la Ricerca Operativa

La Ricerca Operativa in pratica fa tre cose:
1-Modellazione. Cioè traduce un problema reale in un modello con variabili decisionali, vincoli e una funzione obiettivo. La funzione obiettivo può essere minimizzare i costi oppure massimizzare il profitto.
2-Ottimizzazione. Per ottimizzare usa algoritmi per trovare la soluzione migliore entro i vincoli.
3-Analisi. Essa può studiare sensibilità, trade-off, scenari e rischi.

I principali argomenti della Ricerca Operativa

Qui di seguito sono elencati i principali argomenti della Ricerca Operativa
-Programmazione lineare (PL)
-Metodo del Simplesso
-Problema duale
-Programmazione Lineare {0,1}
-Algoritmo branch and bound
-Reti e grafi

Programmazione lineare (PL)
La Programmazione Lineare (PL) è una classe di problemi di ottimizzazione in cui funzione obiettivo e vincoli sono lineari nelle variabili decisionali. Lineare significa che non ci sono prodotti tra le variabili, potenze e logaritmi.
Nella programmazione lineare l’insieme ammissibile è un poliedro; gli ottimi (se esistono) si trovano su vertici. Questi problemi si possono risolvere graficamente, analiticamente oppure con algoritmi.

Metodo del Simplesso

Il Metodo del Simplesso è l’algoritmo più popolare per risolvere problemi di Programmazione Lineare (PL). Lavora esplorando i vertici del poliedro delle soluzioni ammissibili finché non trova un vertice ottimo.
La programmazione lineare ha l’ottimo in un vertice, quello che fa il simplesso è passare da un vertice all’altro migliorando l’obiettivo finché non si può più migliorare.
Il simplesso è un algoritmo e si sviluppa in 6 processi.
Questi processi sono:
1-Messa in forma e punto di partenza, cioè trasformarlo in forma standard, con eventuale inserimento delle variabili di scarto (slack). Se ci sono vincoli con disuguaglianze ci sarà bisogno di aggiungere variabili di slack.
2-Tabella (tableau), cioè creare la tabella iniziale del simplesso
3-Scelta della variabile entrante. Il criterio in ingresso in massimizzazione è quello di scegliere una variabile non di base con coefficiente più negativo nella riga 𝑧
z).
4-Scelta della variabile uscente si esegue il test dei rapporti. Il rapporto più basso indica la riga della variabile uscente.
5-Pivot. Per ottenere la nuova riga della variabile uscente (o della variabile entrante) dividiamo per l’elemento pivot.
6-Stop oppure continuare. Quando non esistono entranti migliorative significa che abbiamo raggiunto l’ottimo

Problema duale
La dualità nella Ricerca Operativa associa a ogni problema di programmazione lineare (primal) un altro problema di programmazione lineare detto duale.
Il duale fornisce limiti (bound) al valore ottimo, prezzi ombra delle risorse.
Il problema duale è utile perché fornisce limiti e certificati d’ottimalità, inoltre è la base del simplesso duale e di molte tecniche avanzate

Programmazione Lineare {0,1}
La Programmazione Lineare {0,1} è un problema di ottimizzazione lineare in cui tutte le variabili decisionali sono binarie:
xj ∈{0,1}.
La Programmazione Lineare {0,1} è uno strumento perfetto per decisioni sì/no con obiettivi e vincoli lineari.

Algoritmo branch and bound
L’algoritmo Branch and Bound si usa per risolvere problemi di ottimizzazione combinatoria. esplorando in modo intelligente un albero di ricerca. Si basa sull’idea di dividere il problema in sottoproblemi (branch) e scartare parti dell’albero usando limiti (bound) che garantiscono che lì non possa esserci una soluzione migliore dell’attuale.
Praticamente il Branch and Bound combina suddivisione intelligente e limiti rigorosi per esplorare solo ciò che serve, fornendo soluzioni ottime.

Reti e grafi
In Ricerca Operativa, reti e grafi sono modelli per rappresentare sistemi con elementi (nodi) collegati da relazioni (archi), spesso con capacità, costi o lunghezze. Servono a descrivere trasporti, telecomunicazioni, reti energetiche, progetti (PERT/CPM), supply chain, reti sociali, ecc.
Un grafo è connesso se è formato da una sola componente connessa.

Conclusioni
La ricerca operativa serve a prendere decisioni quantitative su produzione, logistica, finanza, sanità, energia, servizi, ecc.. Questa disciplina aiuta a prendere le decisioni migliori in presenza di vari vincoli.
Possiamo concludere dicendo che l’obiettivo finale della ricerca operativa è nel fornire un supporto nel prendere le decisioni migliori.

Domanda
Lo sapevate che nel 1939, un matematico ed economista sovietico, Leonid Kantorovich introdusse la programmazione lineare?
Lo sapevate che nel 1947, un matematico e statistico statunitense, George Dantzig sviluppò il metodo del simplesso e rese la programmazione lineare uno strumento pratico che venne usato subito per la pianificazione militare ed industriale?
Sapevate che nel 1960, due donne, una matematica britannica e una matematica australiana, Ailsa H. Land e Alison G. Doig introdussero uno degli algoritmi più interessanti della ricerca operativa, il metodo Branch & Bound?

THE END