23-10-2025 - Applied Mechanics - Wheels and Gears [EN]-[IT]

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ENGLISH

23-10-2025 - Applied Mechanics - Wheels and Gears [EN]-[IT]
With this post, I would like to provide a brief introduction to the topic mentioned above.

(lesson/article code: EX_LZ_43)

Image created with artificial intelligence, the software used is Grok

Introduction
One of the classic topics in applied mechanics is the topic of smooth wheels and gears.

Smooth wheels

Image created with artificial intelligence, Microsoft Copilot software used

Smooth wheels are two cylindrical gears without contact teeth. Motion is transmitted by friction.
The gear ratio is as follows:

Where:
i = gear ratio
ω = angular velocity of the two gears
r = effective radii at contact
D = effective diameter of the two gears in contact
Smooth gears are used for:
-Friction variable speed drives
-Drive rollers
-Low-power feeds on machine tools
-Intrinsic torque limiters
-Counters and measuring instruments
-Education, prototyping, and hobbies
Smooth gears are used for lightweight, quiet, and adjustable drives.

Gear

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot

Gears, unlike wheels, have meshing tooth profiles; transmission without slippage (ideal), with the law of motion imposed by the profile.
The gear ratio is as follows:

Where:
i = speed transmission ratio
ω = angular velocity
z = number of teeth
Gearboxes are used for:

• Gearboxes for industrial machinery
• Gearboxes in vehicles
• Automotive differentials
• Planetary gearboxes for robots
• Slow lifting and positioning
  Gearboxes are typically chosen when exact ratios, high torque, and reliability are required.

Advantages and disadvantages of smooth gears
Advantages
Smooth gears are lightweight and compact. They can be adapted to different power ratings and operate smoothly and continuously. They require little maintenance.
Disadvantages
Smooth wheels have limited transmittable power, limited maximum peripheral speed; heavy loads on the bearings; non-constant ratio for slip (≈ 2–3% variable with power)
Increase in tangential force with wedge wheels compared to wheels
For smooth wheels, the tangential force is:

For wedge wheels wedge

...with virtual friction factor fv; For θ = 20°, approximately fv ≈ 3f (wedge effect)
We can therefore conclude the following:

Examples of gears for each shaft class
Below are some examples of gears for each shaft class.
Parallel shafts: spur gears; helical gears; rack-pinion (parallel equivalent shafts). (See the classification for parallel shafts in the PDF.)
Concurrent shafts: bevel gears (straight, helical/spiral). (See "gears with concurrent axes.")
Skewed axes: worm and wheel; crossed-axle worm gears. (See “skew-axis gears.”
Below is a sketch with three examples: parallel axes (rack-pinion), concurrent axes (bevel gear), and skew-axis (worm-wheel).

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT

Conclusions
Smooth gears are simple and “soft” but limited by slip and bearing loads; with the wedge profile, the friction limit is amplified (≈ 3× at 20°). For rigid transmissions, the following gears can be used: spur (parallel axes), bevel (concurrent), and screw/wheel or crossed helical (skew) gears.

Question
When we talk about wheels, gears, and rolling/sliding contacts, we can recall Archimedes (3rd century BC) and Leonardo.
Did you know that Archimedes founded the statics of simple machines, the basis for wheels and winches?
Did you know that Leonardo da Vinci (1452–1519) studied the analysis of motion and made the first observations of friction, with experiments on rolling and inclined planes?

ITALIAN

23-10-2025 - Meccanica Applicata - Ruote e ingranaggi [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(codice lezione/articolo: EX_LZ_43)

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è grok

Introduzione
Uno dei temi classici della meccanica applicata è proprio l’argomento che riguarda ruote lisce e ingranaggi.

Ruote lisce

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot

Le ruote lisce sono due ruote cilindriche senza denti a contatto. La trasmissione del moto avviene per attrito.
Il rapporto di trasmissione è il seguente:

Dove:
i = rapporto di trasmissione
ω = velocità angolari delle due ruote
r = raggi efficaci al contatto
D = diametri efficaci delle due ruote a contatto
Le ruote lisce vengono usate per:
-Variatori di velocità a frizione
-Rulli di trascinamento
-Avanzamenti a bassa potenza su macchine utensili
-Limitatori di coppia “intrinseci”
-Contatori e strumenti di misura
-Didattica, prototipazione e hobbistica
Le ruote lisce si usano per trascinamenti leggeri, silenziosi e regolabili.

Ingranaggi

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot

Gli ingranaggi, differentemente dalle ruote, hanno profili dentati in presa; trasmissione senza slittamento (ideale), legge di moto imposta dal profilo.
Il rapporto di trasmissione è il seguente:

Dove:
i = rapporto di trasmissione in velocità
ω = velocità angolari
z = numero di denti
Gli ingranaggi vengono impiegati per:
-Riduttori per macchine industriali
-Cambi di velocità nei veicoli
-Differenziali automobilistici
-Riduttori epicicloidali per robot
-Sollevamento e posizionamento lenti
Solitamente gli ingranaggi sono scelti quando servono rapporto esatto, alta coppia e affidabilità.

Vantaggi e svantaggi delle ruote lisce
Vantaggi
Le ruote lisce hanno peso e ingombro ridotti. Sono adattabili a potenze diverse ed hanno un funzionamento dolce e continuo. Richiedono una bassa manutenzione.
Svantaggi
Le ruote lisce hanno una potenza trasmissibile limitata, velocità periferica massima contenuta; forti carichi sui cuscinetti; rapporto non rigorosamente costante per scorrimento (≈ 2–3% variabile con la potenza)
Aumento di forza tangenziale con ruote a cuneo rispetto a ruote
Per quanto riguarda le ruote lisce abbiamo che la forza tangenziale è:

Per le ruote a cuneo

...con fattore d’attrito virtuale fv; per θ =20° vale circa fv≈3f (effetto cuneo)
Possiamo quindi concludere quanto segue:

Esempi di ingranaggi per ciascuna classe di assi
Qui di seguito alcuni esempi di ingranaggi per ciascuna classe di assi
Assi paralleli: ruote cilindriche a denti dritti; ruote cilindriche elicoidali; cremagliera-pignone (assi equivalenti paralleli). (Vedi classificazione per assi paralleli nel PDF.)
Assi concorrenti: coppie coniche (denti dritti, elicoidali/spiralati). (Vedi “ingranaggi ad assi concorrenti”.)
Assi sghembi: vite senza fine e ruota; ruote elicoidali a assi incrociati. (Vedi “ingranaggi ad assi sghembi”.
Qui di seguito uno schizzo con tre esempi: assi paralleli (pignone-cremagliera), assi concorrenti (coppia conica) e assi sghembi (vite senza fine-ruota).

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT

Conclusioni
Le ruote lisce sono semplici e “morbide” ma limitate da scorrimento e carichi sui cuscinetti; con il profilo a cuneo il limite d’attrito si amplifica (≈ 3× a 20°). Per le trasmissioni rigide si possono usare ingranaggi: cilindrici (assi paralleli), conici (concorrenti) e vite/ruota o elicoidali incrociati (sghembi).

Domanda
Quando si parla di ruote, ruote dentate e contatti di rotolamento/scorrimento possiamo ricordare Archimede (III sec. a.C.) e Leonardo.
Sapevate che Archimede fondò la statica delle macchine semplici, base per ruote e argani?
Sapevate che Leonardo da Vinci (1452–1519) studiò l’analisi del moto e fece le prime osservazioni sull’attrito, con esperimenti su rotolamento e piani inclinati?

THE END